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가우스의 정수론: "수론의 기초"를 통해 본 정수의 세계

시끄러운 떠벌이 2024. 7. 21. 05:59

그의 첫 출판 작품은 1801년에 출판된 책인 Disquisitiones Arithmeticae 였습니다. 이 책은 거의 전적으로 독창적인 작품으로 구성되어 있었고 현대 수론의 시작을 알렸습니다. Disquisitiones는 수론에 새로운 아이디어와 개념을 도입하는 것 외에도 수학에 대한 현대의 엄격한 접근 방식을 만드는 데 도움이 되었습니다.

독일연방공화국 (1955, No. 725), (1977, 1246), (1977, No. 1811)우표와 프랑스 남극대륙( 1984), No. c84), 독일 마르크 지폐의 가우스(좌에서 우 순서)(출처:.wfu.edu)

가우스: 수학의 왕자의 일생과 업적👆️ 가우스와 최소제곱법: 천문학에서의 혁신적 적용👆️

모듈로 연산과 합동식

수학 역사상 가장 뛰어난 천재 중 한 명인 칼 프리드리히 가우스는 정수론에 가장 뛰어난 업적을 남겼습니다. 그의 대표적인 저서인 "Disquisitiones Arithmeticae"에서 모듈로 연산, 소수(Prime Number)의 분포, 이차 상호성 법칙 등 정수론 기초를 다루며 수에 대한 세계를 탐구하는 새로운 사고의 지평을 열었습니다. 일상적인 용어로 설명하자면, 모듈로 연산은 시계와 같이 특정 숫자에 도달하면 다시 시작되는 방식과 관련이 있으며, 이는 암호학과 컴퓨터 과학에서 매우 중요한 역할을 하고 있습니다. 좀 더 전문적인 측면에서 가우스가 발견한 정수론의 규칙성과 구조는 소수 간의 관계를 자세히 설명하며 이런 소수가 얼마나 높은 빈도로 출현하는지에 대한 이해를 높임으로써 수학의 여러 분야에 지대한 영향을 미쳤습니다.

그는 모듈로 연산의 개념을 정식화하고, 이를 사용하여 합동식을 도입했습니다. 합동식은 두 수가 주어진 수로 나눈 나머지가 같을 때, 이 두 수가 해당 수에 대해 합동이라고 표현됩니다.

a ≡ b (mod n)

이 수식에서 a와 b가 n으로 나누었을 때 같은 나머지를 가진다는 것을 의미하며 암호학, 컴퓨터 과학, 수학의 여러 분야에서 활용되고 있습니다. 모듈로 연산과 합동식의 몇 가지 예시를 들어 보겠습니다.

17과 5가 6에 대해 합동인지 확인하려면 각 수를 6으로 나눈 나머지를 계산합니다.

17 ÷ 6은 나머지가 5
5 ÷ 6은 나머지가 5

두 수 모두 같은 나머지 5를 가지므로, 17 ≡ 5 (mod 6)입니다. 만약 음수를 포함하는 합동은 어떻게 될까요? -11과 13이 12에 대해 합동인지 계산합니다.

−11 ÷ 12는 나머지가 1(음수에서 나머지를 계산할 때는 양수로 바꾸어 생각하면 편합니다. 즉, −11+12=1)
13 ÷ 12는 나머지가 1

이 경우에도 두 수는 같은 나머지 1이므로 -11 ≡ 13 (mod 12)입니다. 이제 복잡한 소수 판별 알고리즘에서 2^n-1 ≡ 1 (mod n)을 통해 n이 소수인지 추측하는 페르마의 소정리를 사용합니다.

n = 7 이면 일 때 소수 여부를 확인해 보겠습니다.

2⁶ = 64
64 ÷ 7은 나머지가 1

따라서 2⁶ ≡ 1 (mod 7)이 성립하고, 7은 소수입니다. 이러한 합동식의 개념은 수학적 증명, 암호학, 컴퓨터 과학 등에서 중요하게 사용되며, 특히 모듈로 연산을 기반으로 한 알고리즘과 프로그래밍에서 자주 활용됩니다.

가우스의 소수 정리(Prime Number Theorem)

가우스가 소수 분포에 관해 관점은 오늘날 소수 정리(Prime Number Theorem)로 발전하였고 소수의 분포를 정량적으로 설명합니다. 또한 큰 수 x에 대해 x 이하의 소수 개수가 대략 어떻게 변화하는지 예측하도록 합니다. 소수 정리는 자연수 x 이하의 소수의 개수를 π(x)로 나타내며 π(x)가 대략 x/log(x)에 근접한다고 예측합니다. 여기서 log(x)는 자연 로그이며 x가 증가함에 따라 π(x)의 성장률은 log(x)로 나눈 x에 비례합니다. x → ∞ 일 때,

π(x) ∼ x / log⁡(x)

이는 x가 무한대로 갈수록 π(x)와 x / log⁡(x)의 비율이 1에 접근합니다. x=100일 때 소수 개수는 이 식을 정리하면 다음고 같습니다.

log(100) ≈ 4.605

π(100) ≈ 100 / 4.605 ≈ 21.7

실제 x=100일 때 π(x) = 25입니다. 이 예측은 완벽하진 않았지만 큰 수에 대해 상당히 정확합니다. 가우스는 소수가 어떻게 분포하는지에 대한 초기의 수학적 처리 방식을 알렸으며 수학자들이 소수 분포를 이해하는데 역할을 하였습니다.

가우스 이차 잉여와 이차 상호 법칙(Quadratic Reciprocity Law)

수론에서 중요한 개념으로 자리 잡은 이차 잉여(Quadratic Residue)는 모듈로 연산에서 발생하는 특정 형태의 수를 말합니다. 정수 a와 소수 p가 주어졌을 때, 만약 어떤 정수 x가 존재해서 다음과 같은 합동식이 성립한다면, a를 p의 이차 잉여라고 합니다.

x² ≡ a (mod p)

즉, x²을 p로 나눈 나머지가 a가 되는 x가 존재하면, a는 p에 대한 이차 잉여이며, x가 존재하지 않으면 a는 p에 대한 이차 비잉여입니다. 이차 상호 법칙은 두 홀수 소수 p와 q에 대해 이차 잉여의 상호 관계를 설명하는 법칙으로 아래 수식으로 표현됩니다.

여기서 ()는 르장드르 기호로, p가 q의 이차 잉여인지 여부를 나타냅니다. 이 기호의 값은 p가 q의 이차 잉여일 경우 +1, 이차 비잉여일 경우 −1, p=q일 경우 0이 됩니다. 가우스의 이차 잉여와 이차 상호 법칙에 대한 연구는 현대 수론과 암호학에서 여전히 중요하게 다루어지고 있습니다.

이차 형식 (Quadratic Forms)

이차 형식은 2개의 변수를 가진 다항식으로, 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타납니다.

ax²+bxy+cy²

여기서 a, b, c는 정수이고, x와 y는 변수입니다. 예를 들어, a=1, b=0, c=−1인 이차 형식을 생각해 봅시다.

x²−y²

이 식은 두 수의 제곱의 차를 나타냅니다. 이차 형식은 수학에서 여러 가지 중요한 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 특히, 정수 해를 찾는 문제(디오판토스 방정식)와 관련이 깊습니다. 예를 들어, x²−y²=k와 같은 방정식에서 정수 x와 y를 찾는 문제를 생각할 수 있습니다. 가우스는 이차 형식에 대한 연구를 통해 다음과 같은 중요한 기여를 했습니다.

이차 형식의 분류: 가우스는 서로 다른 이차 형식들을 분류하는 방법을 개발했습니다. 이를 통해 서로 다른 이차 형식들이 어떻게 연관되어 있는지를 이해할 수 있게 되었습니다.
이차 형식의 변환: 가우스는 이차 형식을 다른 형태로 변환하는 방법을 연구했습니다. 이를 통해 이차 형식의 해를 찾는 문제가 더 쉽게 풀릴 수 있게 되었습니다.
합동 이론과의 연관성: 가우스는 이차 형식이 합동 이론과 어떻게 연관되는지를 연구했습니다. 예를 들어, x²+y²=n과 같은 방정식이 어떤 정수 n에 대해 해를 가지는지 연구했습니다.

가우스의 연구 중 하나는 다음과 같은 이차 형식입니다.

x²+y²

이 형식은 두 정수 x와 y의 제곱의 합이 주어진 수 n이 되는 경우를 찾는 문제입니다. 예를 들어, n=5일 때, 가능한 정수 해는 (x,y)=(1,2) 또는 (2,1)이 있습니다. 이는 1²+2²=5이기 때문입니다. 이차 형식은 두 변수 x와 y를 포함하는 다항식으로, 가우스는 이러한 형식들을 분류하고 변환하는 방법을 개발했습니다. 이를 통해 수학자들은 정수 해를 찾는 문제를 더 쉽게 해결할 수 있게 되었습니다. 가우스의 연구는 이차 형식 이론의 기초를 마련하고, 현대 수학의 중요한 부분을 형성하는 데 큰 기여를 했습니다.

디오판토스 방정식 (Diophantine Equations)

디오판토스 방정식은 정수 해를 찾는 방정식을 의미하며, 가우스는 이러한 방정식에 대해 깊이 연구했습니다. 디오판토스 방정식은 그리스 수학자 디오판토스의 이름을 따서 명명되었으며, 일반적으로 정수 해를 찾는 문제를 다룹니다. 가우스의 연구는 이러한 방정식의 이론적 기초를 확립하는 데 중요한 역할을 했습니다. 다음은 디오판토스 방정식과 가우스의 관련 연구에 대한 설명입니다. 디오판토스 방정식은 정수 해를 찾는 방정식으로, 다음과 같은 형태로 나타납니다.

ax+by=c

여기서 a, b, c는 주어진 정수이며, x와 y는 정수 해를 찾고자 하는 변수입니다. 간단한 예로, 2x+3y=7이라는 디오판토스 방정식을 생각해 봅시다. 이 방정식의 정수 해를 찾는 것이 목표입니다. 가능한 해를 찾기 위해 x와 y의 값을 시도해 볼 수 있습니다.

x=1일 때: 2(1)+3y=7 → 2+3y=7 → 3y=5 → y가 정수가 아니므로 해가 아님
x=2일 때: 2(2)+3y=7 → 4+3y=7 → 3y=3 → y=1이므로 해가 됩니다

따라서, x=2와 y=1은 이 방정식의 정수 해입니다. 가우스는 디오판토스 방정식에 대한 연구를 통해 여러 중요한 이론을 발전시켰습니다. 그 중 일부는 다음과 같습니다.

합동식과 디오판토스 방정식: 가우스는 합동식의 개념을 도입하여 디오판토스 방정식을 보다 체계적으로 분석했습니다. 합동식을 통해 방정식의 해를 찾는 방법을 개발하고, 이를 통해 여러 형태의 디오판토스 방정식을 해결할 수 있는 도구를 제공했습니다.
최대공약수와 정수 해: 가우스는 디오판토스 방정식이 정수 해를 가지기 위한 조건을 연구했습니다. 그는 방정식 ax+by=c가 정수 해를 가지려면 c가 a와 b의 최대공약수 gcd⁡(a,b)로 나누어져야 한다는 사실을 증명했습니다. 예를 들어, gcd⁡(a,b)=d라면 c도 d로 나누어져야 합니다. 이 조건을 만족하면 방정식의 정수 해를 구할 수 있습니다.
확장된 유클리드 알고리즘: 가우스는 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 디오판토스 방정식의 해를 찾는 방법을 제시했습니다. 이 알고리즘은 두 수 a와 b의 최대공약수를 구하는 과정에서, 이를 이용해 방정식 ax+by=gcd⁡(a,b)의 정수 해를 구할 수 있습니다. 이렇게 구한 해를 이용해 원래 방정식의 해를 구할 수 있습니다.

다음은 56x+72y=8이라는 디오판토스 방정식을 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 푸는 예제입니다.

먼저, gcd⁡(56,72)=8임을 확인합니다.
확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 다음을 구합니다.
72=56⋅1+16
56=16⋅3+8
16=8⋅2+0
여기서, 8=56−3⋅16이고, 16=72−56
8=56−3(72−56)=4⋅56−3⋅72
따라서, x=4와 y=−3가 56x+72y=8의 특정 해가 됩니다.
일반 해는 x=4+9k와 y=−3−7ky = -3 - 7k형태로 나타낼 수 있습니다 (여기서 k는 정수).

가우스는 디오판토스 방정식에 대한 연구를 통해 정수 해를 찾는 방법을 체계적으로 정립했습니다. 그는 합동식, 최대공약수, 확장된 유클리드 알고리즘 등을 활용하여 다양한 형태의 디오판토스 방정식을 해결하는 이론적 기초를 마련했습니다. 이러한 연구는 수론의 중요한 부분을 형성하며, 현대 수학의 여러 문제를 해결하는 데 큰 기여를 했습니다.

수론의 기초 (Fundamental Theorem of Arithmetic)

수론의 기본 정리, 혹은 산술의 기본 정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)는 모든 양의 정수가 소수들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다는 매우 중요한 수학적 원리입니다. 가우스는 이 정리를 증명하여 수론의 기초를 확립했습니다. 이를 쉽게 설명해보겠습니다. 먼저, 몇 가지 용어를 정의해보겠습니다.

소수 (Prime number): 1과 자기 자신 외에는 나누어 떨어지지 않는 1보다 큰 자연수입니다. 예를 들어, 2, 3, 5, 7, 11 등이 있습니다.
합성수 (Composite number): 두 개 이상의 소수로 나눌 수 있는 자연수입니다. 예를 들어, 4, 6, 8, 9, 10 등이 있습니다.

수론의 기본 정리는 다음과 같은 내용을 포함합니다.

모든 양의 정수는 소수들의 곱으로 표현될 수 있습니다.
이러한 표현은 소수의 순서만 다를 뿐, 고유합니다.

이를 예를 들어 설명해보겠습니다. 28을 소수들의 곱으로 표현해보겠습니다.

28은 짝수이므로 2로 나눕니다. 28÷2=14
14도 짝수이므로 2로 나눕니다. 14÷2=7
7은 소수이므로 더 이상 나눌 수 없습니다.

따라서 28을 소수들의 곱으로 표현하면

28=2×2×7=2²×7

이처럼 28은 소수인 2와 7의 곱으로 유일하게 표현됩니다. 또 다른 예로, 60을 소수들의 곱으로 표현해보겠습니다.

60은 짝수이므로 2로 나눕니다. 60÷2=30
30도 짝수이므로 2로 나눕니다. 30÷2=15
15는 3으로 나눌 수 있습니다. 15÷3=5
5는 소수이므로 더 이상 나눌 수 없습니다.

따라서 60을 소수들의 곱으로 표현하면

60=2×2×3×5=2²

이처럼 60도 소수인 2, 3, 5의 곱으로 유일하게 표현됩니다. 수론의 기본 정리는 모든 양의 정수가 소수들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있음을 말합니다. 이는 수학에서 매우 중요한 개념으로, 정수의 구조를 이해하는 데 기본이 됩니다. 이 정리는 다음과 같은 사실을 알려줍니다.

모든 정수는 소수로 나눌 수 있다: 어떤 정수든 적절히 소수로 나누면 소수들의 곱으로 표현할 수 있습니다.
유일성: 특정 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 방법은 오직 하나뿐입니다. 즉, 다른 방법으로 표현할 수 없습니다.

가우스는 이 정리를 증명함으로써 수학의 기초를 확립하고, 수론의 연구에 큰 기여를 했습니다.

최소제곱법과 소행성 세레스

중요한 분야라서 별도의 블로그로 다루었습니다.